Question

已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先根据恒等变形变形成正弦型函数，进一步求出周期和单调区间
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，利用函数的定义域求三角函数的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sinωxcosωx+

1+cos2ωx

2

+1
=

3

2

sin 2ωx+

1

2

cos 2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

．
∵ω＞0，T=π，
∴ω=1．
故f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

．
f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
当2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取最大值

5

2

；
当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，f（x）取得最小值1．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，单调区间和最值．