Question

（13分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a≠0）
（1）若b=2,且h（x）=f（x）-g（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；
（2）若a=1,b=-2设f（x）的图象C₁与g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，M、N的横坐标是m，求证：f＇（m）＜g＇（m）。

Answer 1

（1）h（x）=lnx--2x,x，ｈ＇（x）=在（0，+）有实根，且不为重根。解得：a(-1,0)（0，+）。
（2）见解析。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，以及不等式的恒成立的证明。
（1）因为h（x）=lnx--2x,x
ｈ＇（x）=在（0，+）有实根，且不为重根。
得到证明。
（2）f＇（ｘ）= g＇（x）=x-2
设P（x₁,y₁） Q（x₂,y₂）,且x₁＜x₂
PQ中点为（），只要证明即可。分析法证明。
解：（1）h（x）=lnx--2x,x
ｈ＇（x）=在（0，+）有实根，且不为重根。
解得：a(-1,0)（0，+）。（6分）
（2）f＇（ｘ）= g＇（x）=x-2
设P（x₁,y₁） Q（x₂,y₂）,且x₁＜x₂
PQ中点为（），只要证明-2
又只要证明：
只要证明：  令
只要证明：，
令：F（t）=lnt- 可证得：F＇（t）＞0，所以F（t）在范围内为增函数又F（1）="0" ，所以F（t）＞0在范围内恒成立
得证。