Question

已知圆C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）和直线θl：

x=2++tcosα y= 3 +tsinα

（其中t为参数，α为直线l的倾斜角）
（1）当α=

2π

3

时，求圆上的点到直线l的距离的最小值；
（2）当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．

Answer 1

分析：（1）圆C、直线l化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆上点到直线的距离最小值一般为圆心到直线的距离减半径可求出所求．
（2）把直线的参数方程化为普通方程，把圆的参数方程化为直角坐标方程，根据圆心到直线的距离小于或等于半径，求得tanα≥

3

3

，由此求出倾斜角α的范围．

解答：解：（1）圆C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，
当α=

2π

3

时，直线直线l：

x=2++tcosα y= 3 +tsinα

的直角坐标方程为

3

x+y-3

3

=0
圆心到直线的距离为：

| 3 -3 3 |

2

=

3

所以圆上的点到直线的距离的最小值为

3

-1．
（2）∵直线l的参数方程为l：

x=2++tcosα y= 3 +tsinα

（t为参数，α为直线l的倾斜角），
消去参数t化为普通方程为tanα•x-y-2tanα+

3

=0．
圆C化为直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，
表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．
根据圆心C到直线的距离d=

|-tanα+  3 |

1+tan2α

≤1，
解得tanα≥

3

3

．
再由倾斜角α∈[0，π） 可得，

π

6

≤α＜

π

2

，
故α的取值范围为[

π

6

，

π

2

）．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，根据三角函数的值求角，属于中档题．