Question

【题目】已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）和；（2）.

【解析】

试题（1）求点处的切线方程，只要求出导数，则有切线方程为；（2）曲线与直线只有一个交点，说明关于的方程只有一个实根，不可能是根，因此方程可转化为方程只有一个实根，这样问题又转化为函数的图象与直线只有一个交点，因此只要研究函数的单调性，极值，函数值变化情况，作出简图就可得出结论．

试题解析：（1），，，所以切线方程为.

（2）曲线与直线只有一个交点，等价于关于的方程只有一个实根.

显然，所以方程只有一个实根.

设函数，则.

设，，为增函数，又.

所以当时，，为增函数；

当时，，为减函数；

当时，，为增函数；

所以在时取极小值.

又当趋向于时，趋向于正无穷；

又当趋向于负无穷时，趋向于负无穷；

又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷.所以图象大致如图所示：

所以方程只有一个实根时，实数的取值范围为.