【题目】已知函数
.
（1）若
，求曲线在
点处的切线方程；
（2）若曲线
与直线
只有一个交点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
和
；（2）
.
【解析】
试题（1）求点
处的切线方程，只要求出导数
，则有切线方程为
；（2）曲线
与直线只有一个交点，说明关于
的方程
只有一个实根，
不可能是根，因此方程可转化为方程
只有一个实根，这样问题又转化为函数
的图象与直线
只有一个交点，因此只要研究函数
的单调性，极值，函数值变化情况，作出简图就可得出结论．
试题解析：（1）
，
，
，所以切线方程为.
（2）曲线
与直线只有一个交点，等价于关于的方程只有一个实根.
显然
，所以方程只有一个实根.
设函数，则
.
设
，
，
为增函数，又
.
所以当
时，
，为增函数；
当
时，
，为减函数；
当
时，，为增函数；
所以在
时取极小值
.
又当趋向于
时，趋向于正无穷；
又当趋向于负无穷时，趋向于负无穷；
又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷.所以图象大致如图所示：
所以方程只有一个实根时，实数
的取值范围为
.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在某单位的食堂中，食堂每天以
元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂某天购进了80斤米粉，以
（单位：斤）（其中
）表示米粉的需求量， 
（单位：元）表示利润.
(Ⅰ)计算当天米粉需求量的平均数，并直接写出需求量的众数和中位数；
(Ⅱ) 将表示为的函数；
（Ⅲ）根据直方图估计该天食堂利润不少于760元的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数
与答题正确率
﹪的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下数据：
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 20 | 30 | 50 | 60 |
（1）求
关于
的线性回归方程，并预测答题正确率是100﹪的强化训练次数；
（2）若用
表示统计数据的“强化均值”（精确到整数），若“强化均值”的标准差在区间
内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
＝
， 
＝
－
，
样本数据
的标准差为： 
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin
，
（1）求sinC的值；
（2）若△ABC的外接圆面积为（4+
）π，试求
的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产
百件，需另投入成本
（单位：万元），当年产量不足30百件时，
；当年产量不小于30百件时，
；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.
（1）求年利润
（万元）关于年产量（百件）的函数关系式；
（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（
为参数），直线和圆交于
，
两点.
（1）求圆心的极坐标；
（2）直线与轴的交点为
，求
.
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