【题目】已知为抛物线
的焦点,过
的直线
与
交于
两点,
为
中点,点
到
轴的距离为
,
.
(1)求的值;
(2)过分别作
的两条切线
,
.请选择
轴中的一条,比较
到该轴的距离.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)由抛物线的定义可得,所以
.
(2)由可得
,由切线
①,
②,
, 作差比较可得结论.
试题解析:(1)设抛物线的准线为
,如图,过
分别作直线
的垂线,垂足分别为
.
,
所以,所以
.
(2)由(1)得,抛物线,
因为直线不垂直于
轴,可设
.
由,消去
得,
,
由韦达定理得, ,
所以.
抛物线,即
,故
,
因此,切线的斜率为
,切线
的方程为
,
整理得 ①,
同理可得 ②,
联立①②并消去,得
,
把代入①,得
,故
.
因为,
,
所以到
轴的距离相等;
到
轴的距离不小于
到
轴的距离.
(注:只需比较到
轴或
轴的距离中的一个即可)
点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决.
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【题目】已知函数f(x)=x+ +b,其中a,b是常数且a>0.
(1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间(0, ]上是单调递减函数;
(2)已知函数f(x)在区间[ ,+∞)上是单调递增函数,且在区间[1,2]上f(x)的最大值为5,最小值为3,求a的值.
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【题目】某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93,下列说法正确的是( )
A.这种抽样方法是一种分层抽样
B.这种抽样方法是一种系统抽样
C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
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【题目】若关于x的不等式(a2﹣a)4x﹣2x﹣1<0在区间(﹣∞,1]上恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣2, )
B.(﹣∞, )
C.(﹣ ,
)
D.(﹣∞,6]
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【题目】为了选拔优秀学生参加广州市高二级数学竞赛.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取了5次,记录如下(单位:分):
甲 83 81 79 95 92
乙 92 85 75 88 90
(1)甲乙两人分数的极差分别是多少?并用茎叶图表示这两组数据.
(2)甲乙两人这5次成绩的平均分和方差各是多少?从稳定性的角度考虑,你认为选派哪位学生参加比赛较合适?
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【题目】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得 =80,
=20,
iyi=184,
=720.(b=
)
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程;
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+bx+c,满足f(1)=﹣ , 且3a>2c>2b.
(1)求证:a>0时,的取值范围;
(2)证明函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;
(3)设x1 , x2是函数f(x)的两个零点,求|x1﹣x2|的取值范围.
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