Question

已知函数f（x）=2（log₂x）²-2a（log₂x）+b，当x=

1

2

时有最小值-8，
（1）求a，b的值；     
（2）当x∈[

1

4

，8]时，求f（x）的最值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质建立条件关系即可求a，b的值；     
（2）求出当x∈[

1

4

，8]时，t的取值范围，根据一元二次函数的单调性的性质即可求f（x）的最值．

解答： 解：（I）令t=log₂x，则t∈R，得y=2t²-2at+b，
当x=

1

2

时有最小值-8，即此时t=log₂

1

2

=-1，
当t=

a

2

=-1时，函数有最小值，解得a=-2，
此时函数的最小值为b-

a2

2

=b-2=-8，
解得b=-6，即a=-2，b=-6．
（II）∵x∈[

1

4

，8]时，t=log₂x∈[-2，3]，
∴当t=-1时，函数f（x）取得最小值为-8，
当t=3时，函数f（x）取得最大值为24．

点评：本题主要考查复合函数单调性和最值的求解，利用换元法，结合一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．