Question

17．在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=4-2t}\end{array}\right.$（参数t∈R），同时，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ（θ为参数）
（1）求圆C的直角坐标方程．
（2）求直线l被圆C所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标互化，求解圆C的直角坐标方程．
（2）求出直线的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求解即可．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ（θ为参数）
可得ρ²=4ρcosθ，可得圆的普通方程为：x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=4-2t}\end{array}\right.$（参数t∈R），消去参数t，可得2x+y=6．
圆的圆心（2，0），半径为：2，圆心到直线的距离为：$\frac{|4-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
直线l被圆C所截得的弦长：2$\sqrt{{2}^{2}-{（\frac{2}{\sqrt{5}}）}^{2}}$=$2\sqrt{4-\frac{4}{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．