Question

若直线l过抛物线x²=-8y的焦点F，且与双曲线

x2

9

-

y2

3

=1在一三象限的渐近线平行，则直线l截圆（x-4

3

）²+y²=4所得弦长为

 

．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，求得直线l的方程，求出圆心到直线的距离，运用弦长公式：2

r2-d2

，即可得到弦长．

解答： 解：抛物线x²=-8y的焦点F为（0，-2），
双曲线

x2

9

-

y2

3

=1在一三象限的渐近线为y=

3

3

x，
则直线l的方程为：y=

3

3

x-2，
圆（x-4

3

）²+y²=4的圆心为（4

3

，0），半径为2，
则圆心到直线的距离d=

| 3 3 ×4 3 -2|

1+ 1 3

=

3

，
则弦长为2

r2-d2

=2

4-3

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查抛物线的方程和性质，双曲线的性质：渐近线，考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离，弦长公式等，属于中档题．