Question

【题目】如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：平面AEC；

（2）若，，，求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连BD，设BD∩AC=O，连EO，根据E是PD的中点，O为BD的中点，得到．再利用线面平行的判定定理证明.

（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面AEC的一个法向量，又为平面DAE的一个法向量，然后利用公式求解.

（1）如图所示：

连BD，设BD∩AC=O，连EO，

因为E是PD的中点，O为BD的中点，

所以．

又因为平面AEC，平面AEC，

所以平面AEC；

（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，．

设为平面AEC的一个法向量，

则，

令，则，

又为平面DAE的一个法向量，

由向量的夹角公式，可得

所以二面角的平面角的余弦值为．