Question

17．设x+y=4，且y＞0，则$\frac{1}{4|x|}$+$\frac{|x|}{y}$的最小值为$\frac{28}{57}$．

Answer 1

分析 根据题意可知x＜4，分0＜x＜4，和x＜0时两种情况讨论，分别构造函数，利用导数求出函数的最小值，比较即可得到$\frac{1}{4|x|}$+$\frac{|x|}{y}$的最小值．

解答 解：x+y=4，且y＞0，
y=4-x＞0，
∴x＜4，
当0＜x＜4时，
∴$\frac{1}{4|x|}$+$\frac{|x|}{y}$=$\frac{1}{4x}$+$\frac{x}{4-x}$，
设f（x）=$\frac{1}{4x}$+$\frac{x}{4-x}$，
∴f′（x）=-$\frac{1}{4{x}^{2}}$+$\frac{4}{（4-x）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{4}{5}$，
当f′（x）＞0，即$\frac{4}{5}$＜x＜4，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即x＜$\frac{4}{5}$，函数单调递减，
∴f（x）_min=f（$\frac{4}{5}$）=$\frac{9}{16}$，
当x＜0时，
∴$\frac{1}{4|x|}$+$\frac{|x|}{y}$=-$\frac{1}{4x}$-$\frac{x}{4-x}$，
设g（x）=-$\frac{1}{4x}$-$\frac{x}{4-x}$，
∴g′（x）=$\frac{1}{4{x}^{2}}$-$\frac{4}{（4-x）^{2}}$，
令g′（x）=0，解得x=-$\frac{3}{4}$，
当g′（x）＞0，即-$\frac{3}{4}$＜x＜0，函数单调递增，
当g′（x）＜0，即x＜-$\frac{3}{4}$，函数单调递减，
∴g（x）_min=g（-$\frac{3}{4}$）=$\frac{28}{57}$，
∵$\frac{28}{57}$＜$\frac{9}{16}$
综上所述：$\frac{1}{4|x|}$+$\frac{|x|}{y}$的最小值为$\frac{28}{57}$．

点评 本题考查了分段函数的应用和导数与最值得关系，关键是构造函数，求导，属于中档题．