Question

12．如图所示，正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，将ABCD沿EF折起，使FG⊥BG．
（Ⅰ）证明：EB⊥平面AEFD；
（Ⅱ）求二面角G-BF-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设正方体的棱长为2，证明EF⊥面AEB．EB⊥AE，推出EB⊥面AEFB．
（Ⅱ）取EF的中点H，作HO⊥BF，垂足为O，连接GO，说明∠GOH就是所求二面角G-BF-E的平面角，在Rt△GHO中，求解二面角G-BF-E的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：设正方体的棱长为2，
在Rt△BGF中，$GF=\sqrt{2}，BF=\sqrt{5}$
所以$GB=\sqrt{3}$…（2分）
∵EF⊥AE，EF⊥EB，∴EF⊥面AEB．
∵AD∥EF，∴AD⊥面AEB，∴AD⊥AB
所以在Rt△BGF中，得$AB=\sqrt{2}$…（5分）
在△AEB中，又AE=BE=1∴EB⊥AE
又EF⊥EB∴EB⊥面AEFB…（7分）
（Ⅱ）解：取EF的中点H，则GH⊥EF，由（Ⅰ）知，EB⊥面AEFB，
所以面EFCB⊥面AEFB，所以GH⊥面EFCB，
作HO⊥BF，垂足为O，连接GO，由三垂线定理知，GO⊥BF，
所以∠GOH就是所求二面角G-BF-E的平面角．…（11分）
在Rt△GHO中，GH=1，$HO=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，
所以$GO=\frac{{\sqrt{6}}}{{\sqrt{5}}}$，所以$cos∠GOH=\frac{HO}{GO}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$
所以二面角G-BF-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（15分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．