Question

已知圆C的圆心在直线y=x+1上，半径为

2

，且圆C经过点P（5，4）和点Q（3，6）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点A（1，0）且与圆C相切的切线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）根据条件利用待定系数法求出圆心即可求圆C的标准方程；
（2）根据直线和圆相切的等价条件即可求过点A（1，0）且与圆C相切的切线方程．

解答： 解：（1）设圆C：（x-a）²+（y-b）²=2，
点C在直线y=x+1上，则有b=a+1
圆C经过点P（5，4）和点Q（3，6，
即：（5-a）²+（4-b）²=2，（3-a）²+（6-b）²=2，
解得：a=4，b=5，
圆C：（x-4）²+（y-5）²=2．
（2）①若直线l的斜率不存在，即直线是x=1，与圆相离，不符合题意． （6分）
②若直线l斜率存在，设直线l为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（4，5）到已知直线l的距离等于半径

2

，
即：

|4k-5-k|

1+k2

=

|3k-5|

1+k2

=

2

    （8分），
解得k=1或k=

23

7

．（9分）
所求切线方程是y=x-1，或y=

23

7

x-

23

7

． （10分）

点评：本题主要考查圆的方程的求解以及直线和圆相切的位置关系的应用，利用待定系数法是解决本题的关键．