Question

19．若数列{a_n}满足a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$（[a_n]与{a_n}分别表示a_n的整数部分与小数部分），则a₂₀₁₆=（　　）

• A． 3023+$\sqrt{3}$
• B． 3023+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． 3020+$\sqrt{3}$
• D． 3020+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 由已知求出数列的前几项，得到数列的项呈现的规律得答案．

解答 解：∵a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$，且a₁=$\sqrt{3}$=1+（$\sqrt{3}$-1），
∴a₂=[a₁]+$\frac{1}{\{{a}_{1}\}}$=1+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=2+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴a₃=2+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$=4+（$\sqrt{3}$-1），
∴a₄=4+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=5+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴a₅=7+（$\sqrt{3}$-1），
∴a₆=8+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴a₇=10+（$\sqrt{3}$-1），
∴a₈=11+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴a₂₀₁₆=2016+1007+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$=3023+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故选：B．

点评 本题是新定义题，考查了数列递推式，关键是由数列前几项得到数列的规律，是中档题．