Question

4．已知四面体A-BCD的外接球的球心O在BD上，且AO⊥平面BCD，BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD，若四面体A-BCD的体积为$\frac{3}{2}$，则球O的体积为4$\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 根据球的性质可得O是BD中点，且BC⊥CD，设球的半径为R，计算出棱锥的体积，列出方程解出R，代入球的体积公式计算球的体积．

解答 解：∵四面体A-BCD外接于球O，∴OA=OB=OD，∴O是BD的中点，∴BC⊥CD．
设四面体A-BCD的外接球的半径为R，则BD=2R，BC=$\sqrt{3}$R，∴CD=$\sqrt{B{D}^{2}-B{C}^{2}}$=R，
∴V_棱锥A-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•OA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}R×R×R$=$\frac{3}{2}$，解得R=$\sqrt{3}$．
∴球O的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=4$\sqrt{3}π$．
故答案为：4$\sqrt{3}$π．

点评 本题考查了棱锥与球的关系，空间几何体的体积计算，作出直观图分析棱锥各边与球半径的关系是关键．