Question

13．已知函数g（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，ω＞0）的图象如图所示，函数f（x）=g（x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{3}{2}$sin2x
（1）如果${x_1}，\;{x_2}∈（-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$，且g（x₁）=g（x₂），求g（x₁+x₂）的值；
（2）当-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$时，求函数f（x）的最大值、最小值及相应的x值；
（3）已知方程f（x）-k=0在$[0，\frac{π}{2}]$上只有一解，则k的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由图象求出A、T、ω和φ，求出g（x）的解析式，由图象和条件求出x₁+x₂的值，代入解析式由特殊角的正弦函数求g（x₁+x₂）的值；
（2）由（1）和两角和、差的正弦公式化简f（x），由x的范围、正弦函数的性质，求出答案；
（3）由x∈$[0，\frac{π}{2}]$求出$2x+\frac{2π}{3}$的范围，由正弦函数的性质求出$2sin（2x+\frac{2π}{3}）$的范围，由条件和方程的根转化求出k的取值集合．

解答 解：（1）由图象得，A=1，
$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{3}-（-\frac{π}{6}）$，则$T=\frac{π}{2}×2=π$，所以ω=2，
把点$（\frac{π}{3}，0）$代入得，sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）=0，则2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ，
解得$φ=kπ-\frac{2π}{3}$（k∈Z），由-π＜ϕ＜0得，$φ=\frac{π}{3}$，
所以$g（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$，
因为${x_1}，\;{x_2}∈（-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$，且g（x₁）=g（x₂），
所以由图得，${x_1}+{x_2}=\frac{π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，
则$g（{x_1}+{x_2}）=g（\frac{π}{6}）=sin\frac{2π}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（2）由（1）得，f（x）=g（x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{3}{2}$sin2x
=$sin（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}cos（2x+\frac{π}{3}）$=$2sin（2x+\frac{2π}{3}）$，
因为$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，所以$\frac{π}{3}≤2x+\frac{2π}{3}≤\frac{4π}{3}$，
当$2x+\frac{2π}{3}=\frac{π}{2}$时，即$x=-\frac{π}{12}$时，y_max=2，
当$2x+\frac{2π}{3}=\frac{4π}{3}$时，即$x=\frac{π}{3}$时，${y_{min}}=-\sqrt{3}$；
（3）由（2）得，f（x）=$2sin（2x+\frac{2π}{3}）$，
因为x∈$[0，\frac{π}{2}]$，所以$2x+\frac{2π}{3}$∈$[\frac{2π}{3}，\frac{5π}{3}]$，
则$sin（2x+\frac{2π}{3}）∈[-1，\frac{\sqrt{3}}{2}]$，
即$2sin（2x+\frac{2π}{3}）∈[-2，\sqrt{3}]$，
因为方程f（x）-k=0在$[0，\frac{π}{2}]$上只有一解，
则k的取值集合是（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]∪{-2}．

点评 本题考查由三角函数的图象求解析式，三角函数的图象变换，以及正弦函数的性质，属于中档题．