【题目】已知直线l:y=3x+3.
(1)求点P(5,3)关于直线l的对称点P′的坐标;
(2)求直线l1:x﹣y﹣2=0关于直线l的对称直线l2的方程;
(3)已知点M(2,6),试在直线l上求一点N使得|NP|+|NM|的值最小.
【答案】
(1)解:设点P的对称点为P'(a,b),
则 ,解得: ,
即点P'的坐标为(﹣4,6);
(2)解:解方程组 得 ,
即两直线l与l的交点坐标为
因为直线l与l2关于直线l对称,所以直线l2必过点 ,
又由(1)可知,点P(5,3)恰好在直线l上,且其关于直线l的对称点为P'(﹣4,6),
所以直线l2必过点P'(﹣4,6),这样由两点式可得: ,
即7x+y+22=0;
(3)解:由(1)得P'(﹣4,6),连接P'M,交直线l于N,连接NP,
则|NP|+|NM|=|NP'|+|NM|=|P'M|最小,
设出N(x,3x+3),则由P',M,N共线,可得,
,解得,x=1,
则可得N(1,6).
【解析】(1)设点P的对称点为P'(a,b),由中点坐标公式和两直线垂直的条件列方程,解出即可;(2)首先求出两直线的交点,再由点关于直线对称的求法求出对称点,再由直线方程的形式,即可得到;(3)可由(1)的结论,连接P'M,交直线l于N,连接NP,再由三点共线的知识,即可求出N.
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【题目】为了解春季昼夜温差大小与种子发芽多少之间的关系,现从4月的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天每50颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:
日期 | 4月1日 | 4月6日 | 4月12日 | 4月19日 | 4月27日 |
温差 | 2 | 3 | 5 | 4 | 1 |
发芽数颗 | 9 | 11 | 15 | 13 | 7 |
(1)从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为,求事件“均小于13”的概率;
(2)若4月30日昼夜温差为,请根据关于的线性回归方程估计该天种子浸泡后的发芽数.
参考公式: , .
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【题目】已知函数.
(1)求证:存在定点,使得函数图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上,并求出点的坐标;
(2)定义,其中且,求;
(3)对于(2)中的,求证:对于任意都有.
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【题目】首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?
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【题目】已知集合A={x| <0,x∈R},B={x|x2﹣2x﹣m<0,x∈R}
(1)当m=3时,求A∩(RB);
(2)若A∩B={x|﹣1<x<4},求实数m的值.
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【题目】若以曲线上任意一点为切点作切线,曲线上总存在异于的点,以点为切点作切线,且,则称曲线具有“可平行性”,现有下列命题:
①函数的图象具有“可平行性”;
②定义在的奇函数的图象都具有“可平行性”;
③三次函数具有“可平行性”,且对应的两切点, 的横坐标满足;
④要使得分段函数的图象具有“可平行性”,当且仅当.
其中的真命题个数有()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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