Question

已知函数f（x）=x²-5x+3-

k(x-1)

ex

，g（x）=-x+xlnx（k∈R），若对于?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则k的取值范围（　　）

• A、(-∞，

  1

  e3

  ]
• B、（-∞，-e³]
• C、（-∞，-e]
• D、(-∞，

  1

  e

  ]

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：若对于?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，即为：f（x₁）≥g（x₂）_min在x＞1上恒成立，可先求出g（x）的最小值，再由-1≤x2-5x+3-

k(x-1)

ex

在x＞1上恒成立．即为k≤（x-4）e^x在x＞1上恒成立，令h（x）=（x-4）e^x运用导数求极小值，也是最小值，只要k不大于最小值，即可求得k的取值范围．

解答： 解：对于?x₁∈（1，+∞），?x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
即为：f（x₁）≥g（x₂）_min在x＞1上恒成立，对于g（x）=-x+xlnx
则：g′（x）=-1+lnx-1=lnx
令g′（x）＞0，则x＞1，g′（x）＜0，则0＜x＜1
即在x=1为极小值且g（-1）=-1
则有-1≤x2-5x+3-

k(x-1)

ex

在x＞1上恒成立，
即

k(x-1)

ex

≤x2-5x+4在x＞1上恒成立，
即有k≤（x-4）e^x
令h（x）=（x-4）e^x
则：h′（x）=（x-3）e^x
当x＞3时，h′（x）＞0，当1＜x＜3时，h′（x）＜0
在x=3时，h（x）取极小值，即为最小值．h（3）=-e³
则有：k≤-e³
故选：B

点评：本题考查的知识要点：恒成立问题，函数的转化思想，利用函数的导数求函数的最值及相关的运算问题．