Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0，
（1）求证对m∈R，直线l和圆C总相交；
（2）设直线l和圆C交于A、B两点，当|AB|取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离公式求得圆心C到直线l的距离小于半径，从而证明直线l和圆C总相交．
解法二：利用直线l：mx-y+1-m=0恒过过定点P（1，1），可判明在圆内，即可证明直线l和圆C总相交．
（2）根据当圆心到直线的距离d最小时，弦长|AB|最大，而m=0时d最小，从而得到直线l的方程．

解答：证明：（1）因圆C的圆心为C（0，1），半径r=

5

，
所以圆心C到直线l的距离为d=

|m|

1+m2

＜

|m|

|m|

=1，故直线l和圆C总相交，命题得证．
解法二：直线l：mx-y+1-m=0恒过过定点P（1，1），可判明在圆内，即可证明直线l和圆C总相交．
（2）当d最小时，|AB|最大，而m=0时d最小，此时l过圆心（1，1），
直线l：mx-y+1-m=0 即 y=1．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，直线过定点问题以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．