Question

已知x，y≠kπ+

π

2

（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中项，siny是sinθ，cosθ的等比中项．
求证：（1）cos2x=

1

2

cos2y；（2）

2(1-tan2x)

1+tan2x

=

1-tan2y

1+tan2y

．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的性质可得2sinx等于sinθ+cosθ，记作①，根据等比数列的性质可得sin²y等于sinθcosθ，记作②，然后①²-②×2，利用同角三角函数间的基本关系化简，然后利用二倍角的正弦函数公式化简可得证；
（2）由（1）得到的结论，利用二倍角的余弦函数公式化简后，把分母看作“1”即为正弦与余弦函数的平方和，然后利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得证．

解答：证明：（1）∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx①，sinθcosθ=sin²y②，
①²-②×2，可得（sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=4sin²x-2sin²y，即4sin²x-2sin²y=1．
∴4×

1-cos2x

2

-2×

1-cos2y

2

=1，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．
故证得cos2x=

1

2

cos2y；
（2）要证

2(1-tan2x)

1+tan2x

=

1-tan2y

1+tan2y

，只需证

1- sin2x cos2x

1+ sin2x cos2x

=

1- sin2y cos2y

2(1+ sin2y cos2y )

，
即证

cos2x-sin2x

cos2x+sin2x

=

cos2y-sin2y

2(cos2y+sin2y)

，即证cos²x-sin²x=

1

2

（cos²y-sin²y），只需证cos2x=

1

2

cos2y．
由（1）的结论，cos2x=

1

2

cos2y显然成立．
所以

2(1-tan2x)

1+tan2x

=

1-tan2y

1+tan2y

．

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值，是一道综合题．学生在证明第二问时应注意“1”的灵活变换．