Question

如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠ABC=90°，∠BCD=135°，沿对角线AC将此四边形折成直二面角．
（1）求证：AB⊥平面BCD
（2）求三棱锥D-ABC的体积
（3）求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

解：（1）∵△ABC中，AB=BC=a，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°
∴∠ACD=135°-45°=90°，得AC⊥CD
∵二面角B-AC-D为直二面角
∴平面ACD⊥平面ABC
∵CD⊥AC，平面ACD∩平面ABC=AC，∴DC⊥平面ABC
∵AB⊆平面ABC，∴CD⊥AB
又∵AB⊥BC，BC、CD是平面BCD内的相交直线
∴AB⊥平面BCD
（2）由（1）知DC⊥平面ABC，故DC是三棱角D-ABC的高
∵Rt△ABC的面积S=AB×BC=a²
∴三棱锥D-ABC的体积V=Sh=×a²×DC=a³
（3）设点C到平面ABD的距离为h
Rt△ABD中，BD==
由V_C-ABD=V_D-ABC，得××AB×BD×h=a³
∴h=a
分析：（1）由平面几何知识，不难算出∠ACD=90°，从而AC⊥CD．因为二面角B-AC-D为直二面角，结合CD⊥AC，可得DC⊥平面ABC，得到CD⊥AB，最后根据线面垂直的判定定理，得到AB⊥平面BCD；
（2）利用等腰三角形ABC作为底面，CD为高，不难用锥体体积公式求出三棱锥D-ABC的体积；
（3）设点C到平面ABD的距离为h，根据三棱锥C-ABD的体积等于三棱锥D-ABC的体积，建立等式并代入题中的数据，解之即可求出点C到平面ABD的距离．
点评：本题以平面翻折问题为例，证明了线面垂直并求几何体的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、点到平面距离的求法和锥体体积公式等知识，属于基础题．