Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析式中的第一项，然后给化简后的后两项提取2，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）由化简后的解析式，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

，即可求出函数的最小正周期；
（2）令化简后的解析式大于等于0，求出正弦函数的值域，根据正弦函数的图象与性质，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的集合；
（3）由x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域得出函数f（x）的最大值及最小值，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，即f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，根据函数的最值，即可得到m的范围．

解答：解：f(x)=[1-cos(

π

2

+2x)]-

3

cos2x（1分）
=1+sin2x-

3

cos2x（2分）
=2sin(2x-

π

3

)+1，（3分）
（1）T=

2π

2

=π；（4分）
（2）2sin(2x-

π

3

)+1≥0⇒sin(2x-

π

3

)≥-

1

2

（5分）
∴2kπ-

π

6

≤2x-

π

3

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z（6分）
∴kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z，
∴使f（x）≥0成立的x的取值集合为{x|kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z}；（7分）
（3）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，（8分）
∴[f（x）]_max=3，[f（x）]_min=2，
∴|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
即f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，（9分）
∴[f（x）]_max-2＜m＜[f（x）]_min+2，
∴1＜m＜4，
∴实数m的取值范围为[1，4]．（10分）

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域及值域，正弦函数的单调性，以及不等式恒成立满足的条件，利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是本题的突破点．