Question

已知数列{a_n}是首项为1公差为正的等差数列，数列{b_n}是首项为1的等比数列，设C_n=a_nb_n（n∈N^*），且数列{c_n}的前三项依次为1，4，12，
（1）求数列a_n．b_n的通项公式；
（2）若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{

Sn

n

}的前项的和T_n．

Answer 1

分析：（1）分别设出等差数列的公比为d，等比数列的公比为q，由数列{c_n}的前三项依次为1，4，12，根据等差数列及等比数列的通项公式化简，根据d大于0，把两数列的首项代入即可求出d与q的值，进而写出等差及等比数列的通项公式即可；
（2）由（1）求出的d与首项的值，根据等差数列的求和公式表示出S_n，然后等号两边都除以n，得到数列{

Sn

n

}是首项是a₁=1，公差为

d

2

=

1

2

的等差数列，根据等差数列的前n项和公式，由首项a₁和d的值即可表示出T．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
则由题意知

a1b1=1 (a1+d)(b1q) =4 (a1+2d)(b1q2) =12

，
因为数列{a_n}各项为正数，所以d＞0，
所以把a=1，b=1代入方程组解得

d=1 q=2

，
则a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n，b_n=b₁q^n-1=2^n-1；
（2）由（1）知等差数列{a_n}的前n项和S_n=na₁+

n(n-1)

2

d，
所以

Sn

n

=a₁+（n-1）

d

2

，
所以数列{

Sn

n

}是首项是a₁=1，公差为

d

2

=

1

2

的等差数列，
所以T=na+

n(n-1)

2

•

d

2

=n+

n(n-1)

4

=

n2+3n

4

．

点评：此题考查了等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式，以及等差数列的确定方法．要求学生熟练掌握等差及等比数列的通项公式．