Question

19．在长方体ABCD-A₁B₁CD₁表面积为8，则体对角线AC₁长度的最小值是2．

Answer 1

分析 设长方体ABCD-A₁B₁CD₁的长宽高分别为：a，b，c，则2ab+2ac+2bc=8，利用基本不等式，可得答案．

解答 解：设长方体ABCD-A₁B₁CD₁的长宽高分别为：a，b，c，
则2ab+2ac+2bc=8，
则体对角线AC₁长度d=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{\frac{2（{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}）}{2}}$=$\sqrt{\frac{（{a}^{2}+{b}^{2}）+（{a}^{2}+{c}^{2}）+（{b}^{2}+{c}^{2}）}{2}}$≥$\sqrt{\frac{2ab+2ac+2bc}{2}}$=2，
故体对角线AC₁长度的最小值是2，
故答案为：2

点评 本题考查的知识点是棱柱的结构特征，基本不等式，是不等式与立体几何的综合考查．