Question

已知函数f（x）=（x²+bx+c）e^x在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0．
（1）求b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若方程f（x）=m恰有两个不等的实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=（x²+bx+c）e^x在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0，可求得f（0）的值，求导，令f′（0）=-2，解方程组可求得b，c的值；（2）令导函数f′（x）=[0，求解，分析导函数的符号，可知函数的单调区间；（3）方程f（x）=m恰有两个不等的实根，转化为求函数的极值和单调性，从而可知函数图象的变化情况，可求得m的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=[x²+（b+2）x+b+c]•e^x
∵f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0．
∴

f′(0)=-2 f(0)=1

?

b+c=-2 c=1

?

b=-3 c=1

（2）由（1）知：f（x）=（x²-3x+1）•e^x，f′（x）=（x²-x-2）•e^x=（x-2）（x+1）•e^x

∴f（x）的单调递增区间是：（-∞，-1）和（2，+∞）f（x）的单调递减区间是：（-1，2）
（3）由（2）知：f(x)max=f(-1)=

5

e

，f（x）_min=f（2）=-e²
但当x→+∞时，f（x）→+∞；又当x＜0时，f（x）＞0，
则当且仅当m∈(-e2，0]∪{

5

e

}时，方程f（x）=m恰有两个不等的实根．

点评：考查函数导数的几何意义和利用导数研究函数的极值和利用导数研究函数的单调性，以及方程根的个数问题，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法和数形结合的思想方法，属中档题．