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在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:y=x2,实数p,q满足p2-4q≥0,x1,x2是方程x2-px+q=0的两根,记φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}.
(1)过点A(p0p0)(p0≠0)作L的切线教y轴于点B。证明:对线段AB上任一点Q(p,q)有φ(p,q)=
(2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a2-4b>0,a≠0。过M(a,b)作L的两条切线l1,l2,切点分别为E(p1p12),E′(p2p22),l1,l2与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X。证明:M(a,b)∈X|P1|>|P2|φ(a,b)=
(3)设D={(x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-},当点(p,q)取遍D时,求φ(p,q)的最小值 (记为φmin)和最大值(记为φmax)。
解:(1)
直线AB方程为,即

方程的判别式
两根






(2)由知点在抛物线L的下方
①当时,作图可知,若,则,得
,显然有点

②当时,点在第二象限,作图可知,若,则,且
,显然有点

根据曲线的对称性可知,当时,
综上所述
由(1)知点M在直线EF上,方程的两根
同理点M在直线上,方程的两根
,则不比



又由(1)知

综合(*)式,得证。
(3)联立得交点,可知
过点作抛物线L的切线,设切点为,则
,解得
,即








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在平面直角坐标系xoy上,给定抛物线L:y=
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x2.实数p,q满足p2-4q≥0,x1,x2是方程x2-px+q=0的两根,记φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}.
(1)过点,A(p0
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p02)(p0≠0),作L的切线交y轴于点B.证明:对线段AB上的任一点Q(p,q),有φ(p,q)=
|p0|
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(2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a2-4b>0,a≠0.过M(a,b)作L的两条切线l1,l2,切点分别为E(p1
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p
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),E′(p2
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p22),l1,l2与y轴分别交于F,F′.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明:M(a,b)∈X?|P1|<|P2|?φ(a,b)=
|p1|
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(3)设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥
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(x+1)2-
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}.当点(p,q)取遍D时,求φ(p,q)的最小值 (记为φmin)和最大值(记为φmax

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2
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1
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)
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(1)写出m的值并求出当0≤x≤m时,点P运动路径的长度l;
(2)写出函数f(x),x∈[4k-2,4k+2],k∈Z的表达式;研究该函数的性质并填写下面表格:
函数性质 结  论
奇偶性
偶函数
偶函数
单调性 递增区间
[4k,4k+2],k∈z
[4k,4k+2],k∈z
递减区间
[4k-2,4k],k∈z
[4k-2,4k],k∈z
零点
x=4k,k∈z
x=4k,k∈z
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