Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 若Sn=2an﹣3n．
（Ⅰ）求证：数列{an+3}是等比数列，并求出数列{an}的通项an；
（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】（I）证明：∵Sn=2an﹣3n，∴n=1时，a1=2a1﹣3，解得a1=3．
n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣3n﹣[2an﹣1﹣3（n﹣1）]，
化为：an=2an﹣1+3，变形为：an+3=2（an﹣1+3），∴数列{an+3}是等比数列，公比为2．
∴an+3=6×2n﹣1 ， 解得an=3×2n﹣3．
（II）解：nan=3n×2n﹣3n．
设数列{n×2n}的前n项和为An=2+2×22+3×23+…+n×2n ，
2An=22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1 ，
∴﹣An=2+22+…+2n﹣n×2n+1= ﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，
∴An=（n﹣1）×2n+1+2．
∴数列{nan}的前n项和Tn=6+（3n﹣3）×2n+1﹣3×
【解析】（I）Sn=2an﹣3n，n=1时，a1=2a1﹣3，解得a1 ． n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 化为：an=2an﹣1+3，变形为：an+3=2（an﹣1+3），利用等比数列的通项公式即可得出．（II）nan=3n×2n﹣3n．设数列{n×2n}的前n项和为An=2+2×22+3×23+…+n×2n ， 利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出An ， 再利用等差数列的求和公式进而得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．