Question

已知f(x)=

2x-a

x2+2

(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数
（ I）求实数a的取值范围；
（ II）记实数a的取值范围为集合A，且设关于x的方程f(x)=

1

x

的两个非零实根为x₁，x₂．
①求|x₁-x₂|的最大值；
②试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1＞|x₁-x₂|对?a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）先求导函数f'（x），然根据f（x）在[-1，1]上是增函数则f'（x）≥0在x∈[-1，1]恒成立，然后利用二次函数的性质进行解题即可求出a的取值范围；
（II）①先求出集合A，然后根据f(x)=

1

x

得x²-ax-2=0，x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两个非零实根，利用根与系数的关系表示出|x₁-x₂|，最后根据a的范围可求出|x₁-x₂|的最大值；
②要使m²+tm+1＞|x₁-x₂|对?a∈A及t∈[-1，1]恒成立，即m²+tm+1＞3即m²+tm-2＞0对?t∈[-1，1]恒成立，设 g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），将t看成变量，则g（t）是关于t的一次函数，然后建立不等式，解之即可求出所求m的取值范围．

解答：解：（I）f′(x)=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

…1分）
∵f（x）在[-1，1]上是增函数
∴f'（x）≥0即x²-ax-2≤0，在x∈[-1，1]恒成立 （1）（3分）
设 φ（x）=x²-ax-2，则由（1）得

φ(1)=1-a-2≤0 φ(-1)=1+a-2≤0

解得-1≤a≤1
所以，a的取值范围为[-1，1]．…（6分）
（II）①由（I）可知A={a|-1≤a≤1}
由f(x)=

1

x

即

2x-a

x2+2

=

1

x

得x²-ax-2=0
∵△=a²+8＞0∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两个非零实根
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，又由（1）-1≤a≤1
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

≤3（9分）
∴|x₁-x₂|的最大值为3．
②要使m²+tm+1＞|x₁-x₂|对?a∈A及t∈[-1，1]恒成立
即m²+tm+1＞3即m²+tm-2＞0对?t∈[-1，1]恒成立（2）（11分）
设 g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
则由（2）得

g(-1)=m2-m-2＞0 g(1)=m2+m-2＞0

解得m＞2或m＜-2
故存在实数m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）满足题设条件（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数恒成立问题和根与系数的关系，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于中档题．