Question

【题目】如图，在多面体中，四边形为正方形，，，.

（1）证明：平面平面.

（2）若平面，二面角为，三棱锥的外接球的球心为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

证明平面即可证明平面平面（2）由题确定二面角的平面角为，进而推出为线段的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系由空间向量的线面角公式求解即可

（1）证明：因为四边形为正方形，

所以，

又，，

所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）解：由（1）知平面，又，则平面，从而，

又，所以二面角的平面角为.

以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，.

因为三棱锥的外接球的球心为，所以为线段的中点，

则的坐标为，.

设平面的法向量为，则，

即令，得.

易知平面的一个法向量为，

则.

由图可知，二面角为锐角，

故二面角的余弦值为.