Question

已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8．
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求直线MN与平面ABCD所成的角．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，及线面夹角（1）要证明直线MN∥平面PBC，关键是在平面内找到可能与MN平行的直线，由已知我们根据平行线分线段成比例定理，及得结论；（2）要求直线MN与平面ABCD所成的角，即求直线PE与平面ABCD所成的角，构造三角形，解三角形即可求解．

解答：（1）证明：∵P-ABCD是正四棱锥，
∴ABCD是正方形．连接AN并延长交BC于点E，连接PE．
∵AD∥BC，∴EN：AN=BN：ND．
又∵BN：ND=PM：MA，
∴EN：AN=PM：MA．
∴MN∥PE．
又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC．

（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角．
设点P在底面ABCD上的射影为O，连接OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角．
由正棱锥的性质知PO=

PB2-OB2

=

13 2

2

．
由（1）知，BE：AD=BN：ND=5：8，
∴BE=

65

8

．
在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=

65

8

，
根据余弦定理，得PE=

91

8

．
在Rt△POE中，PO=

13 2

2

，PE=

91

8

，
∴sin∠PEO=

PO

PE

=

4 2

7

．
故MN与平面ABCD所成的角为arcsin

4 2

7

．

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．