Question

（2013•虹口区二模）如图，PA⊥平面ABCD，PA=1，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．
（1）求异面直线PE与AB所成的角的大小；
（2）求四棱锥P-ABED的侧面积．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点F，连EF、PF，可证，∠PEF的大小等于异面直线PE与AB所成的角或其补角的大小，由三角形的知识可得cos∠PEF，由反三角函数可得答案；（2）由题意分别求得各个边长，进而可得侧面各个三角形的面积，求和可得侧面积．

解答：解：（1）取AD的中点F，连EF、PF．

∵EF∥AB，∴∠PEF的大小等于异面直线PE与AB所成的角或其补角的大小．…（2分）
由PA=1，AB=BE=1，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，得EF=1，AE=

2

，PF=

2

，PE=

3

，
∴cos∠PEF=

3+1-2

2 3

=

3

3

．…（5分）
∴异面直线PE与AB所成的角的大小等于arccos

3

3

．…（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，PA=1，AB=1，AD=1，S△PAB=

1

2

，S_△PAD=1．
∵PA⊥BE，BE⊥AB，∴BE⊥平面PAB，∴BE⊥PB，PB=

2

，S△PBE=

2

2

．…（9分）
连AE，由AB=BE=1，得AE=

2

，同理DE=

2

，PE=

PA2+AE2

=

3

，
又PD=

PA2+AD2

=

5

，∴PE²+DE²=PD²，由勾股定理逆定理得∠AED=90°，
∴S△PED=

6

2

．
∴四棱锥P-ABED的侧面积为

3+ 2 + 6

2

．…（12分）

点评：本题考查异面直线所成的角，涉及椎体的侧面积，属中档题．