Question

9．已知点P（1，1），圆C：x²+y²-4x=2，过点P的直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M（M不同于P），若|OP|=|OM|，则l的方程是3x+y-4=0．

Answer 1

分析 圆C的方程可化为（x-2）²+y²=6，所以圆心为C（2，0），半径为$\sqrt{6}$，设M（x，y），运用$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，化简整理求出M的轨迹方程．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，可得ON⊥PM，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由点斜式方程可得直线l的方程．

解答 解：圆C的方程可化为（x-2）²+y²=6，
所以圆心为C（2，0），半径为$\sqrt{6}$，
设M（x，y），则$\overrightarrow{CM}$=（x-2，y），$\overrightarrow{MP}$=（1-x，1-y），
由题设知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
故（x-2）（1-x）+y（1-y）=0，
即（x-1.5）²+（y-0.5）²=0.5．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是（x-1.5）²+（y-0.5）²=0.5．
M的轨迹是以点N（1.5，0.5）为圆心，$\frac{\sqrt{2}}{2}$为半径的圆．
由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为$\frac{1}{3}$，
所以l的斜率为-3，
故l的方程为y-1=-3（x-1），即3x+y-4=0．
故答案为：3x+y-4=0．

点评 本题主要考查圆和圆的位置关系，直线和圆相交的性质，属于基础题．