Question

13．已知点F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F₂（2$\sqrt{2}$，0），动点P为曲线C上任意点且满足|PF₁|+|PF₂|=4$\sqrt{3}$．
（1）求曲线C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与曲线C交于A、B两点，且P（-3，2）在线段AB的垂直平分线上，求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得曲线C为椭圆，且2a=4$\sqrt{3}$．c=2$\sqrt{2}$，求出b²=a²-c²可得答案；
（2）设直线l：y=x+b，求出直线方程，进而求出△PAB的底边长和高，可得△PAB的面积．

解答 解：（1）由已知可得C是2a=4$\sqrt{3}$．c=2$\sqrt{2}$的椭圆，
故a=2$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=4，
故线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设直线l：y=x+b与C两个不同的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则线段AB的垂直平分线方程为：y=-x+a，
将P（-3，2）代入得：a=-1，故线段AB的垂直平分线方程为：y=-x-1；
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\\ y=x+b\end{array}\right.$得：4x²+6bx+3b²-12=0，
故x₁+x₂=$-\frac{6b}{4}$=$-\frac{3b}{2}$，
则线段AB的中点坐标为：（$-\frac{3b}{4}$，$\frac{b}{4}$），
将其代入y=-x-1得：b=2，
故直线l：y=x+2，即x-y+2=0，
P到AB的距离d=$\frac{|-3-2+2||}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$，
AB=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$×3=3$\sqrt{2}$，
故求△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，难度中档．