Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣ x2﹣aln（x+1）（a＞0），g（x）=ex﹣x﹣1，曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处的公共的切线．
（1）若x=0为函数f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用a表示）；
（2）若x≥0，g（x）≥f（x）+ x2 ， 求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：f（x）的定义域是（﹣1，+∞），

且f′（x）=a﹣x﹣ ，g′（x）=ex﹣1，

∵曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处的公共的切线，

∴f′（0）=g′（0），

解得：a=b，

∴f（x）=ax﹣ x2﹣aln（x+1）；

f′（x）= ，

a=1时，f′（x）≤0，函数在定义域递减，不合题意；

a≠1时，∵x=0为函数f（x）的极大值点，

故由y=﹣x2+（a﹣1）x的图象可知a﹣1＜0，

由f′（x）＜0，得：x∈（﹣1，a﹣1）∪（0，+∞），

由f′（x）＞0，得：x∈（a﹣1，0），

∴f（x）在（a﹣1，0）递增，在（﹣1，a﹣1），（0，+∞）递减

（2）解：∵g′（x）=ex﹣1，且﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，x＞0时，g′（x）＞0，

故x=0时，g（x）取得最小值0，∴g′（x）≥0，即ex≥x+1，从而x≥ln（x+1），

设F（x）=g（x）﹣f（x）﹣ x2=ex+aln（x+1）﹣（a+1）x﹣1，

F′（x）=ex+ ﹣（a+1），

①a=1时，∵x≥0，∴F′（x）≥x+1+ ﹣（a+1）=x+1+ ﹣2≥0，

∴F（x）在[0，+∞）递增，从而F（x）≥F（0）=0，

即ex+ln（x+1）=2x﹣1＞0，

∴g（x）≥f（x）+ x2，

②0＜a＜1时，由①得：ex+ln（x+1）﹣2x﹣1＞0，

∴g（x）=ex﹣x﹣1≥x﹣ln（x+1）≥a（x﹣ln（x+1）），

故F（x）≥0即g（x）≥f（x）+ x2，

③a＞1时，令h（x）=ex+ ﹣（a+1），

则h′（x）=ex﹣ ，

显然h′（x）在[0，+∞）递增，又h′（0）=1﹣a＜0，h′（ ﹣1）= ﹣1＞0，

∴h′（x）在（0， ﹣1）上存在唯一零点x0，

当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）在[0，x0）递减，

x∈（0，x0）时，F（x）＜F（0）=0，

即g（x）＜f（x）+ x2，不合题意，

综上，a∈（0，1]．

【解析】（1）求出函数的导数，根据f′（0）=g′（0），求出a=b，求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可；（2）设F（x）=g（x）﹣f（x）﹣ x2 ， 通过讨论a的范围结合函数的单调性确定a的具体范围即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．