Question

如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，求DE的长．

Answer 1

解：设CB=AD=x，则由割线定理，得CA•CD=CB•CE，
即4（4+x）=x（x+10），化简得x²+6x-16=0，解得x=2或x=-8（舍去），即CD=6，CE=12，
因为CA为直径，所以∠CBA=90°，即∠ABE=90°，
则由圆的内接四边形对角互补，得∠D=90°，
则CD²+DE²=CE²，
∴6²+DE²=12²，
∴DE=6．
分析：设CB=AD=x，由圆的割线定理列出关于x的方程，求出x的值即得到CD和CE的值，又因为AC为小圆的直径，则所对的圆周角∠CBA等于90°即∠ABE等于90°，然后根据圆内接四边形的对角互补得到∠D也等于90°，所以在直角三角形CDE中，利用勾股定理即可求出DE的长．
点评：此题考查学生灵活运用圆的内接四边形对角互补及直径所对的圆周角为直角的性质，灵活运用圆的割线定理化简求值，是一道中档题．