Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=9，其前n项和为S_n，对n∈N^*，n≥2，都有S_n=3（S_n-1+3）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求证：数列{S_n+$\frac{9}{2}$}是等比数列；
（Ⅲ）若b_n=-2log₃a_n+20，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n=3（S_n-1-3），S_n+1=3（S_n-3），相减可得a_n+1=3a_n．利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）利用等比数列的前n项和公式可得S_n，变形即可得出．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知b_n=-2log₃a_n+20=-2n+18，利用等差数列的前n项和公式，二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=3（S_n-1-3），S_n+1=3（S_n-3），
∴a_n+1=3a_n．
故{a_n}是公比为3，首项为9的等比数列，${a_n}={3^{n+1}}$，
（Ⅱ）∵${a_n}=9•{3^{n-1}}$，
∴${S_n}=\frac{{9（1-{3^n}）}}{1-3}=-\frac{9}{2}+\frac{9}{2}•{3^n}$，
∴${S_n}+\frac{9}{2}=\frac{9}{2}•{3^n}=\frac{27}{2}•{3^{n-1}}$，${S_1}+\frac{9}{2}=\frac{9}{2}•3=\frac{27}{2}，\;\;\frac{{{S_{n+1}}+\frac{9}{2}}}{{{S_n}+\frac{9}{2}}}=\frac{{\frac{27}{2}{3^n}}}{{\frac{27}{2}{3^{n-1}}}}=3$．
故数列$\left\{{{S_n}+\frac{9}{2}}\right\}$是$\frac{27}{2}$为首项，公比为3的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知b_n=-2log₃a_n+20=-2n+18，
∴{b_n}是公差为-2．首项为16的等差数列．
∴${T_n}=-{n^2}+17n$，
∵b₈＞0，b₉=0，b₁₀＜0，
∴T₈或T₉最大，最大值为72．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、二次函数的单调性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．