【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP= .
(Ⅰ)求证:AB⊥PC;
(Ⅱ)求点D到平面PAC的距离.
【答案】(Ⅰ)证明:取AB的中点O,连接PO,CO,AC,
∵△APB为等腰三角形,∴PO⊥AB
又∵四边形ABCD是菱形,∠BCD=120°,
∴△ACB是等边三角形,∴CO⊥AB
又CO∩PO=O,∴AB⊥平面PCO,
又PC平面PCO,∴AB⊥PC.
(II)解:∵∠APB=90°,AB=2,AP=BP= ,∴PO=1
∵△ABC是边长为2的正三角形,
∴OC=
又PC=2,
∴PO2+CO2=PC2 ,
∴PO⊥OC,
又PO⊥AB,AB∩OC=O,
∴PO⊥平面ABC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴B,D到平面PAC的距离相等,设为h,
∵S△PAC= = ,S△ABC= .
∴由VB﹣PAC=VP﹣ABC , 可得 ,
∴h= .
【解析】(Ⅰ)取AB的中点O,连接PO,CO,AC,由已知条件推导出PO⊥AB,CO⊥AB,从而AB⊥平面PCO,由此能证明AB⊥PC.(Ⅱ)由VB﹣PAC=VP﹣ABC , 求点D到平面PAC的距离.
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点,需要掌握已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则才能正确解答此题.
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【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn , 点(an , Sn)(n∈N*)都在函数f(x)= 的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an3n , 求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】某化工厂拟建一个下部为圆柱,上部为半球的容器(如图,圆柱高为h,半径为r,不计厚度,单位:米),按计划容积为72π立方米,且h≥2r,假设其建造费用仅与表面积有关(圆柱底部不计),已知圆柱部分每平方米的费用为2千元,半球部分每平方米4千元,设该容器的建造费用为y千元. (Ⅰ)求y关于r的函数关系,并求其定义域;
(Ⅱ)求建造费用最小时的r.
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【题目】函数y=sin2x的图象经过适当变换可以得到y=cos2x的图象,则这种变换可以是( )
A.沿x轴向右平移 个单位
B.沿x轴向左平移 个单位
C.沿x轴向左平移 个单位
D.沿x轴向右平移 个单位
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【题目】设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=3,an+1=2Sn+3(n∈N)
(I)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令bn=(2n﹣1)an , 求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】已知数列{an}满足对任意的n∈N* , 都有a13+a23++an3=(a1+a2++an)2且an>0.
(1)求a1 , a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若bn= ,记Sn= ,如果Sn< 对任意的n∈N*恒成立,求正整数m的最小值.
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【题目】当n为正整数时,函数N(n)表示n的最大奇因数,如N(3)=3,N(10)=5,…,设Sn=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+…+N(2n﹣1)+N(2n),则Sn= .
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