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如图所示,点N在圆x2+y2=4上运动,DN⊥x轴,点M在DN的延长线上,且
DM
DN
(λ>0).
(1)求点M的轨迹方程,并求当λ为何值时M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆;
(2)当λ=
1
2
时,(1)所得曲线记为C,已知直线l:
x
2
+y=1
,P是l上的动点,射线OP(O为坐标原点)交曲线C于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|2,求点Q的轨迹方程.
分析:(1)利用
DM
DN
,确定动点坐标之间的关系,利用点N在圆x2+y2=4上运动,可以得到点M的轨迹方程,从而可得λ为何值时M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆;
(2)设P(x1,y1),R(x2,y2),Q(x,y),根据比例性质,条件|OQ|•|OP|=|OR|2,可得坐标之间的关系,化简变形即可得到点Q的轨迹方程.
解答:解:(1)设M(x,y),N(x0,y0),
DM
DN
得 x=x0,y=λy0
x0=x, y0=
1
λ
y
,…(2分)
把N(x0,y0)代入圆的方程得x2+
y2
λ2
=4

化简得
x2
4
+
y2
4λ2
=1
.…(4分)
当0<λ<1时,M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆.…(5分)
(2))当λ=
1
2
时,(1)所得曲线C为
x2
4
+y2=1

设P(x1,y1),R(x2,y2),Q(x,y)
∵P在l上、R在椭圆上,∴
x1
2
+y1=1
x
2
2
4
+
y
2
2
=1
②…(7分)
|OP|
|OQ|
=t
,由比例性质得 
|OP|
|OQ|
=t=
x1
x
=
y1
y
,∴x1=tx,y1=ty,…(8分)
代入①得
tx
2
+ty=1
③…(9分)
∵|OQ|•|OP|=|OR|2,∴t=
|OP|
|OQ|
=
|OR|2
|OQ|2
=
x
2
2
x2
=
y
2
2
y2

x
2
2
=tx2, 
y
2
2
=ty2
…(10分)
代入②得
tx2
4
+ty2=1
④…(11分)
由③④联立得
tx2
4
+ty2
=
tx
2
+ty
,又t≠0,
x2
4
+y2=
x
2
+y
,原点除外.
化简得点Q的轨迹方程为x2-2x+4y2-4y=0(原点除外).…(13分)
点评:本题重点考查代入法求轨迹方程,考查消参思想,解题的关键是确定动点坐标之间的关系,综合性较强.
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AM
=2
AP
NP
AM
=0,点N的轨迹为曲线E.
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如图所示,点N在圆x2+y2=4上运动,DN⊥x轴,点M在DN的延长线上,且数学公式(λ>0).
(1)求点M的轨迹方程,并求当λ为何值时M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆;
(2)当数学公式时,(1)所得曲线记为C,已知直线数学公式,P是l上的动点,射线OP(O为坐标原点)交曲线C于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|2,求点Q的轨迹方程.

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(1)求点M的轨迹方程,并求当λ为何值时M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆;
(2)当λ=时,(1)所得曲线记为C,已知直线l:+y=1,P是l上的动点,射线OP(O为坐标原点)交曲线C于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,求点Q的轨迹方程。

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如图所示,点N在圆x2+y2=4上运动,DN⊥x轴,点M在DN的延长线上,且(λ>0).
(1)求点M的轨迹方程,并求当λ为何值时M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆;
(2)当时,(1)所得曲线记为C,已知直线,P是l上的动点,射线OP(O为坐标原点)交曲线C于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|2,求点Q的轨迹方程.

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