Question

设{a_n}，{b_n}，{c_n}是三个数列，{a_n}是等差数列，a₂=4，a₄=8，{c_n}是第三项为8，公比为4的等比数列．
（1）求数列{a_n}及{c_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：log₂c_n=

a1b1+a2b2+…anbn

a1+a2+…+an

，求证：点列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一条直线上，并求此直线的斜率；
（3）记数列{a_n}、{b_n}的前m项和分别为A_m和B_m，对任意自然数n，是否总存在与n相关的自然数m，使得a_nB_m=b_nA_m？若存在，求出m与n的关系，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等差数列的首项和公差由已知列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案，直接由已知求等比数列的通项公式；
（2）把数列{a_n}及{c_n}的通项公式代入log₂c_n=

a1b1+a2b2+…anbn

a1+a2+…+an

，整理后利用作差法求得数列{b_n}的通项公式，从而说明点列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一条直线上，并求得此直线的斜率；
（3）分别求出等差数列{a_n}、{b_n}的前m项和分别为A_m和B_m，代入a_nB_m=b_nA_m求得n不是整数，从而说明不存在．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由a₂=4，a₄=8，得

a1+d=4 a1+3d=8

，解得

a1=2 d=2

．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
设{c_n}的公比为q，由c₃=8，q=4，得cn=8•4n-3=22n-3；
（2）由log₂c_n=

a1b1+a2b2+…anbn

a1+a2+…+an

，得
log222n-3=

2b1+4b2+6b3+…+2nbn

n2+n

，
即2b₁+4b₂+6b₃+…+2nb_n=n（n+1）（2n-3）．
则2b₁+4b₂+6b₃+…+2（n-1）b_n-1=（n-1）n（2n-5）（n≥2）．
两式作差得：2nb_n=n[（n+1）（2n-3）-（n-1）（2n-5）]，
则b_n=3n-4（n≥2）．
验证n=1时成立，
∴b_n=3n-4．
∴点列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一条直线b_n=3n-4上，且此直线的斜率为3；
（3）由（2）知，数列{b_n}是以-1为首项，以3为公差的等差数列．
则Bm=-m+

3m(m-1)

2

=

3m2-5m

2

．
又Am=2m+

2m(m-1)

2

=m2+m．
由a_nB_m=b_nA_m，得2n•

3m2-5m

2

=（3n-4）（m²+m）．
即n=

4

5

．
∴对任意自然数n，不存在与n相关的自然数m，使得a_nB_m=b_nA_m．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了作差法求数列的通项公式，训练了存在性问题的判断方法，是压轴题．