Question

6．设点A和B为抛物线y²=2px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，则点M的轨迹方程为x²+y²-2px=0（x≠0）．

Answer 1

分析 直接设出直线AB的方程：y=kx+b，与抛物线联立，利用维达定理及条件OA⊥OB可推出b与k的联系，再由OM⊥AB得k=-$\frac{x}{y}$代入直线方程即可求得M的轨迹方程．

解答 解：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，
由OM⊥AB得k=-$\frac{x}{y}$．
由y²=2px及y=kx+b消去y，得k²x²+x（2kb-2p）+b²=0，所以x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$．
消去x，得ky²-2py+2pb=0，所以y₁y₂=$\frac{2pb}{k}$．
由OA⊥OB，得y₁y₂=-x₁x₂，所以$\frac{2pb}{k}$=-$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，所以b=-2kp．
故y=kx+b=k（x-2p）
用k=-$\frac{x}{y}$代入，得x²+y²-2px=0（x≠0）．
故答案为：x²+y²-2px=0（x≠0）．

点评 本题考查轨迹方程的求法：参数法，综合性强，计算量较大，很好的考查了推理判断能力和运算求解能力．