Question

18．给出两个命题，命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅，命题q：函数$y=（a+\frac{1}{2}）x-1$为增函数．若p∨q为真，求实数a取值的范围．

Answer 1

分析 根据条件求出命题p，q成立的等价条件，根据复合命题真假之间的关系先求出p∨q为假命题的等价条件即可得到结论．

解答 解：若关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅，则判别式△=（a-1）²-4a²＜0，
即3a²+2a-1＞0，
解得a＞$\frac{1}{3}$或a＜-1，即p：a＞$\frac{1}{3}$或a＜-1，￢p：-1≤a≤$\frac{1}{3}$，
若函数$y=（a+\frac{1}{2}）x-1$为增函数，则a+$\frac{1}{2}$＞0，即a＞-$\frac{1}{2}$，即q：a＞-$\frac{1}{2}$，￢q：a≤-$\frac{1}{2}$，
若p∨q为假命题．则$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{3}}\\{a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤-$\frac{1}{2}$，
则若p∨q为真，则a＞-$\frac{1}{2}$或a＜-1，
即实数a的取值范围是a＞-$\frac{1}{2}$或a＜-1．

点评 本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．