Question

10．已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，a₂=2，a₃=$\frac{1}{4}$，则S_n的取值范围是[16，$\frac{128}{7}$）．

Answer 1

分析 由已知条件利用等比数列的通项公式求出首项和公比，由此求出S_n，进而能求出S_n的取值范围．

解答 解：∵S_n是等比数列{a_n}的前n项和，a₂=2，a₃=$\frac{1}{4}$，
∴$q=\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}}{2}$=$\frac{1}{8}$，${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{q}=\frac{2}{\frac{1}{8}}$=16，
∴${S}_{n}=\frac{16[1-{（\frac{1}{8}）}^{n}]}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{128}{7}$（1-$\frac{1}{{8}^{n}}$）＜$\frac{128}{7}$，
∴（S_n）_min=S₁=$\frac{128}{7}（1-\frac{1}{8}）$=16，
∴S_n的取值范围是[16，$\frac{128}{7}$）．
故答案为：[16，$\frac{128}{7}$）．

点评 本题考查数列的前n项和的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．