Question

已知数列{a_n}是由正数构成的数列，a₁=3，且满足lga_n=lga_n-1+lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n和S_n；
（2）求

lim

n→∞

2n-1-an

2n+an+1

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知得a_n=3•c^n-1．由此可知S_n=

3n                                    (c=1) 3(1-cn) 1-c                            (c＞0且c≠1).

（2）

lim

n→∞

2n-1-an

2n+an+1

=

lim

n→∞

2n-1-3cn-1

2n+3cn

．再由c的取值范围分别讨论

lim

n→∞

2n-1-an

2n+an+1

的值．

解答：解：（1）由已知得a_n=c•a_n-1，
∴{a_n}是以a₁=3，公比为c的等比数列，则a_n=3•c^n-1．
∴S_n=

3n                                    (c=1) 3(1-cn) 1-c                            (c＞0且c≠1).

（2）

lim

n→∞

2n-1-an

2n+an+1

=

lim

n→∞

2n-1-3cn-1

2n+3cn

．
①当c=2时，原式=-

1

4

；
②当c＞2时，原式=

lim

n→∞

( 2 c )n-1-3

2•( 2 c )n-1+3c

=-

1

c

；
③当0＜c＜2时，原式=

lim

n→∞

1-3( c 2 )n-1

2+3c•( c 2 )n-1

=

1

2

．

点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用．