Question

已知在x轴上有一点列：P₁（x₁，0），P₂（x₂，0），P₃（x₃，0），…，P_n（x_n，0），…，点P_n+2分有向线段所成的比为λ，其中n∈N^*，λ＞0为常数，x₁=1，x₂=2．
（1）设a_n=x_n+1-x_n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（λ）=，当λ变化时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用向量的定比分点坐标公式写出x_n+2与x_n+1，x_n之间的关系式；再由a_n=x_n+1-x_n，求出a₁，再推出a_n和a_n+1的关系，说明是等比数列，然后求数列{a_n}的通项公式．
（2）由于x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1所以|-|＜1，利用等比数列的前n和的极限公式即可求得，最后利用分离常数的方法即可求得f（x）的取值范围．
解答：解：（1）因为点P_n+2分有向线段 所成的比为λ，
所以 ，即由定比分点坐标公式得x_n+2=．
∵a₁=x₂-x₁=1，
因为a_n+1=x_n+2-x_n+1=-x_n+1
=-（x_n+1-x_n）=-a_n，
∴=-，即{a_n}是以a₁=1为首项，-为公比的等比数列．
∴a_n=（-）^n-1．
（2）∵x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1，
λ＞0，∴|-|＜1，
（12分）
∴当λ＞0时，f（λ）=（14分）
点评：本题考查线段的定比分点，数列递推式，数列的极限，考查逻辑思维能力，是中档题．