Question

已知函数的图像在点处的切线方程为.
（I）求实数，的值；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（I），；（Ⅱ）实数的取值范围为．

试题分析：（I）由已知条件，先求函数的导数，利用导数的几何意义，列出方程组：，进而可求得实数，的值；（Ⅱ）当时，恒成立由（I）知，当时，恒成立恒成立，．构造函数，，先求出函数的导数：，再设，求函数导数，可知，从而在区间上单调递减，，由此得，故在区间上单调递减，可求得在区间上的最小值，最后由求得实数的取值范围．
试题解析：（I）.由于直线的斜率为且过点．                                    2分
，解得，．                   6分
（Ⅱ）由（I）知，当时，恒成立等价于恒成立．                                          8分
记，，则，记，则，在区间上单调递减，，故，在区间上单调递减，，                                   11分
所以，实数的取值范围为．                       13分