Question

设有-4×4正方形网格，其各个最小的正方形的边长为4cm，现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上；假设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点．求：
（1）硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；
（2）硬币落下后与网格线没有公共点的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个几何概型，概率等于面积之比，根据题意算出试验包含的总面积和符合条件的面积，两者求比值，得到要求的概率．
（2）每个小正方形内与网格线没有公共点的部分是正中心的边长为2的正方形的内部，一共有16个小正方形，根据上一问得到试验发生的所有事件对应的面积，求比值得到结果．

解答：解：考虑圆心的运动情况．
（1）因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩张1个小圆半径的区域，且四角为四分之圆弧；此时总面积为：
16×16+4×16×1+π×1²=320+π；
完全落在最大的正方形内时，圆心的位置在14为边长的正方形内，
其面积为：14×14=196；
∴硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为：P=

196

320+π

；
（2）每个小正方形内与网格线没有公共点的部分是正中心的边长为2的正方形的内部，一共有16个小正方形，总面积有16×2²=64；
∴硬币落下后与网格线没有公共点的概率为P=

64

320+π

．即硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为P=

196

320+π

；
硬币落下后与网格线没有公共点的概率为P=

64

320+π

．

点评：本题考查几何概型和求面积的方法，几何概型和古典概型是高中必修中学习的高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目．