Question

20．已知函数$f（x）=4sin2x•{sin^2}（{x+\frac{π}{4}}）+cos（{2π-4x}）$，
（1）求f（x）的最小正周期；      
（2）若$g（x）=f（{x+ϕ}）（{-\frac{π}{2}＜ϕ＜\frac{π}{2}}）$在x=$\frac{π}{3}$处取得最大值，求y=g（x）的单调递增区间；
（3）求（2）中y=g（x）在$x∈[{-\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）g（x）=f（x+ϕ）=2sin（2x+2ϕ）+1，当$2x+2ϕ=\frac{π}{2}+2kπ$，k∈z时取得最大值，将$x=\frac{π}{3}$代入上式，得ϕ，再利用正弦函数的单调性即可得出．
（3）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）$f（x）=4sin2x{sin^2}（{x+\frac{π}{4}}）+cos4x=4sin2x{[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{sinx+cosx}）}]^2}+cos4x$
=2sin2x（1+sin2x）+cos4x
=2sin2x+2sin²2x+cos4x
=2sin2x+1
∴最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）g（x）=f（x+ϕ）=2sin（2x+2ϕ）+1，当$2x+2ϕ=\frac{π}{2}+2kπ$，k∈z时取得最大值，
将$x=\frac{π}{3}$代入上式，得$ϕ=-\frac{π}{12}+kπ$，k∈z，
∴$ϕ=-\frac{π}{12}$，得$g（x）=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）+1$，
∴$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈z，
解得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$，k∈z，
∴g（x）的单调增区间为$[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]$，k∈z
（3）由（2）得$g（x）=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）+1$，由$-\frac{π}{12}≤x≤\frac{2π}{3}$，得$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{6}}）≤1$，得$1-\sqrt{3}≤g（x）≤3$，
∴g（x）∈$[{1-\sqrt{3}，3}]$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．