Question

17．已知函数f（x）=ax²+x-a，a∈R，
（1）若函数f（x）的最大值大于$\frac{17}{8}$，求实数a的取值范围；
（2）解不等式f（x）＞1（a∈R）

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）的最大值大于$\frac{17}{8}$，则$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{-4{a}^{2}-1}{4a}＞\frac{17}{8}\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围；
（2）不等式f（x）＞1可化为ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0，分当a＜0时，当a=0时和当a＞0时三种情况，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（1）若函数f（x）的最大值大于$\frac{17}{8}$，
则$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{-4{a}^{2}-1}{4a}＞\frac{17}{8}\end{array}\right.$，
解得：a∈（-2，-$\frac{1}{8}$）
（2）不等式f（x）＞1可化为ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0，
当a＜0时，可化为（x-1）（x+$\frac{a+1}{a}$）＜0，
∴当-$\frac{a+1}{a}$＞1，即$-\frac{1}{2}$＜a＜0时，解集为：{x|1＜x＜-$\frac{a+1}{a}$}，
当-$\frac{a+1}{a}$=1，即a=$-\frac{1}{2}$时，解集为∅，
当-$\frac{a+1}{a}$＜1，即a＜$-\frac{1}{2}$时，解集为{x|-$\frac{a+1}{a}$＜x＜1}．
当a=0时，可化为（x-1）＞0，解集为：{x|x＞1}，
当a＞0时，可化为（x-1）（x+$\frac{a+1}{a}$）＞0，
此时-$\frac{a+1}{a}$＜1，解集为：{x|x＜-$\frac{a+1}{a}$，或x＞1}．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．