【题目】已知函数f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0, )上无零点,求a最小值.
【答案】
(1)解:当a=1时,f(x)=x﹣1﹣2lnx,
则f′(x)=1﹣ ,由f′(x)>0,得x>2,
由f′(x)<0,得0<x<2,
故f(x)的单调减区间为(0,2],单调增区间为[2,+∞).
(2)因为f(x)<0在区间(0, )上恒成立不可能,
故要使函数f(x)在(0, )上无零点,只要对任意的x∈(0, ),f(x)>0恒成立,
即对x∈(0, ),a>2﹣ 恒成立.
令l(x)=2﹣ ,x∈(0, ),
则l′(x)= ,
再令m(x)=2lnx+ ﹣2,x∈(0, ),
则m′(x)=﹣ + = <0,
故m(x)在(0, )上为减函数,于是m(x)>m( )=2﹣2ln2>0,
从而l(x)>0,于是l(x)在(0, )上为增函数,
所以l(x)<l( )=2﹣4ln2,
故要使a>2﹣ 恒成立,只要a∈[2﹣4ln2,+∞),
综上,若函数f(x)在(0, )上无零点,则a的最小值为2﹣4ln2.
【解析】(1)当a=1时,对函数进行求导,得出单调区间;(2)通过分析不难得出要使得f(x)在给定区间无零点,只需要f(x)在给定区间恒大于零,进行参变分离,构造函数,求导,得出a的最小值.
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【题目】设数列{an}是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Sn , 且a1a5=64,S5﹣S3=48.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设有正整数m,l(5<m<l),使得am , 5a5 , al成等差数列,求m,l的值;
(3)设k,m,l∈N*,k<m<1,对于给定的k,求三个数 5ak , am , al经适当排序后能构成等差数列的充要条件.
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【题目】已知曲线C 的参数方程为 (α为参数),以直角坐标系原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程;
(Ⅱ)设l1:θ= ,l2:θ= ,若l 1、l2与曲线C 相交于异于原点的两点 A、B,求△AOB的面积.
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【题目】某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y=axb(a,b为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:
尺寸(mm) | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
质量(g) | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
对数据作了初步处理,相关统计量的值如表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(Ⅰ)根据所给数据,求y关于x的回归方程;
(Ⅱ)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间( , )内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件,记ξ为取到优等品的件数,试求随机变量ξ的分布列和期望.
附:对于一组数据(v1 , u1),(v2 , u2),…,(vn , un),其回归直线u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = , = ﹣ .
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【题目】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( )
(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式V= )
A.2寸
B.3寸
C.4寸
D.5寸
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【题目】某公司对应聘人员进行能力测试,测试成绩总分为150分.下面是30位应聘人员的测试成绩的测试成绩:64,116,82,93,102,82,104,67,93,118,70,95,119,106,83,72,95,106,72,119,122,95,86,74,131,76,88,108,97,123.
(1)求应聘人员的测试成绩的样本平均数 (保留小数点后两位);
(2)根据以上数据完成下面茎叶图:
应聘人员的测试成绩 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |
10 | |
11 | |
12 | |
13 |
(3)由茎叶图可以认为,应聘人员的测试成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数 ,σ2近似为样本方差s2 , 其中s2=18.872 , 利用该正态分布,求P(76.40<Z<114.14).
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,
P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.
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【题目】某中学人力资源部计划2016年招聘2名数学教师,共5名应聘者进入最后课堂实录环节.5名数学组评审专家给出评分如表:
评审专家/应聘老师 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
评审专家A | 93.0 | 90.0 | 88.5 | 89.5 | 82.5 |
评审专家B | 94.0 | 83.0 | 89.0 | 93.0 | 81.0 |
评审专家C | 91.0 | 85.0 | 81.5 | 88.0 | 81.0 |
评审专家D | 92.0 | 91.5 | 81.0 | 94.5 | 87.0 |
评审专家E | 95.5 | 91.0 | 90.0 | 95.5 | 88.5 |
(Ⅰ)若依据去掉一个最高分和一个最低分规则计算应聘老师成绩,试确定最终应聘成功的2名数学老师的序号;
(Ⅱ)在课堂实录环节,每名应聘老师都需要从5名评审专家中随机选取2名进行点评,且每名应聘老师的选择互不影响,设X表示评审专家A进行点评的次数,求X的分布列以及数学期望;
(Ⅲ)记评审专家A与评审专家B给出的评分的方差分别为 ,试比较 与 的大小.(只需写出结论)
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【题目】命题p:数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0);命题q:数列{an}是等差数列.则p是q的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
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