Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，∠ABC=120°，又顶点A₁在底面ABC上的射影落在AC上，侧棱AA₁与底面ABC成60°角，D为AC的中点．
（1）求证：BD⊥AA₁；
（2）如果二面角A₁-BD-C₁为直二面角，试求侧棱CC₁与侧面A₁ABB₁的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证线线垂直，关键是证明线面垂直，利用面面垂直可得线面垂直，故可证；
（2）∠A₁DC₁为二面角A₁-BD-C₁的平面角，故∠A₁DC₁=90°，又∠A₁AD为AA₁与底面ABC所成的角，从而∠A₁AD=60°．由于CC₁∥侧面A₁ABB₁，故CC₁与侧面A₁ABB₁的距离可转化为点C到侧面A₁ABB₁的距离，建立空间直角坐标系，求出面A₁ABB₁的法向量，利用即可求得．
解答：证明：（1）在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因为A₁在底面ABC上射影落在AC上，则平面A₁ACC₁经过底面ABC的垂线 
故侧面A₁C⊥面ABC．
又 BD为等腰△ABC底边AC上中线，则BD⊥AC，从而BD⊥面AC．
∴BD⊥面A₁C，又AA₁?面A₁C，
∴AA₁⊥BD（4分）
（2）∠A₁DC₁为二面角A₁-BD-C₁的平面角，故∠A₁DC₁=90°，
又∠A₁AD为AA₁与底面ABC所成的角，从而∠A₁AD=60°，
设侧棱长为a，
由于，
则，类似地．
在Rt△A₁DC₁中，A₁D²+DC₁²=A₁C₁²，即．（8分）
这样△A₁AD为等边三角形，取AD的中点O，以O为原点，如图建立空间直角坐标系．易知，
故，
设面A₁ABB₁的法向量为，
则，可取，
又，，
故点C到侧面A₁ABB₁的距离为，
而CC₁∥侧面A₁ABB₁，故CC₁与侧面A₁ABB₁的距离为．（12分）
点评：本题的考点是点、线、面间的距离计算，考查平面与平面垂直的性质，考查线面距离，考查利用空间向量求解空间距离，综合性强