Question

已知cos（x-

π

4

）=

2

10

，x∈（

π

2

，

3π

4

）．
（1）求sinx的值；
（2）求sin（2x+

π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用x的范围确定x-

π

4

的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin（x-

π

4

）的值，进而根据sinx=sin[（x-

π

4

）+

π

4

]利用两角和公式求得答案
（2）利用x的范围和（1）中sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，
最后代入正弦的两角和公式求得答案．

解答：解：（1）因为x∈（

π

2

，

3π

4

），
所以x-

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），
sin（x-

π

4

）=

1-cos2(x- π 4 )

=

7 2

10

．
sinx=sin[（x-

π

4

）+

π

4

]
=sin（x-

π

4

）cos

π

4

+cos（x-

π

4

）sin

π

4

=

7 2

10

×

2

2

+

2

10

×

2

2

=

4

5

．
（2）因为x∈（

π

2

，

3π

4

），
故cosx=-

1-sin2x

=-

1-( 4 5 )2

=-

3

5

．
sin2x=2sinxcosx=-

24

25

，
cos2x=2cos²x-1=-

7

25

．
所以sin（2x+

π

3

）=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

=-

24+7 3

50

．

点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用．考查了学生基础知识的掌握和基本运算能力．